दो संख्याओं का योग उनके गुणोत्तर माध्य का $6$ गुना है। दर्शाइए कि संख्याएँ $(3+2 \sqrt{2}):(3-2 \sqrt{2})$ के अनुपात में हैं।

(N/A) माना दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
गुणोत्तर माध्य $(G.M.)$ = $\sqrt{ab}$ है।
दी गई शर्त के अनुसार:
$a+b = 6\sqrt{ab}$ --- $(1)$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(a+b)^2 = 36ab$
हम जानते हैं कि $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$ होता है।
$(1)$ से मान रखने पर:
$(a-b)^2 = 36ab - 4ab = 32ab$
$a-b = \sqrt{32}\sqrt{ab} = 4\sqrt{2}\sqrt{ab}$ --- $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2a = (6+4\sqrt{2})\sqrt{ab}$
$a = (3+2\sqrt{2})\sqrt{ab}$
$a$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$b = 6\sqrt{ab} - (3+2\sqrt{2})\sqrt{ab}$
$b = (3-2\sqrt{2})\sqrt{ab}$
अतः,अनुपात:
$\frac{a}{b} = \frac{(3+2\sqrt{2})\sqrt{ab}}{(3-2\sqrt{2})\sqrt{ab}} = \frac{3+2\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}}$
इस प्रकार,संख्याएँ $(3+2\sqrt{2}):(3-2\sqrt{2})$ के अनुपात में हैं।