यदि $a, b, c$ धनात्मक और असमान हैं,तो सिद्ध कीजिए कि सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}$ का मान ऋणात्मक है।

(N/A) दिए गए सारणिक में $C_{1} \rightarrow C_{1} + C_{2} + C_{3}$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = (a + b + c) \begin{vmatrix} 1 & b & c \\ 1 & c & a \\ 1 & a & b \end{vmatrix}$
$R_{2} \rightarrow R_{2} - R_{1}$ और $R_{3} \rightarrow R_{3} - R_{1}$ लागू करने पर:
$\Delta = (a + b + c) \begin{vmatrix} 1 & b & c \\ 0 & c - b & a - c \\ 0 & a - b & b - c \end{vmatrix}$
$C_{1}$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = (a + b + c) [(c - b)(b - c) - (a - c)(a - b)]$
$\Delta = (a + b + c) [-(b - c)^2 - (a^2 - ab - ac + bc)]$
$\Delta = (a + b + c) [-(b^2 - 2bc + c^2) - a^2 + ab + ac - bc]$
$\Delta = (a + b + c) [-(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)]$
$\Delta = -\frac{1}{2}(a + b + c) [(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2]$
चूँकि $a, b, c$ धनात्मक और असमान हैं,इसलिए $(a + b + c) > 0$ और $[(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2] > 0$ है। अतः,$\Delta < 0$ है।