यदि $a, b$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं,और $\Delta=\begin{vmatrix} b+c & c+a & a+b \\ c+a & a+b & b+c \\ a+b & b+c & c+a \end{vmatrix}=0$ है,तो सिद्ध कीजिए कि या तो $a+b+c=0$ है या $a=b=c$ है।

(A) दिया गया है $\Delta=\begin{vmatrix} b+c & c+a & a+b \\ c+a & a+b & b+c \\ a+b & b+c & c+a \end{vmatrix}=0$.
$R_{1} \rightarrow R_{1}+R_{2}+R_{3}$ लागू करने पर:
$\Delta=\begin{vmatrix} 2(a+b+c) & 2(a+b+c) & 2(a+b+c) \\ c+a & a+b & b+c \\ a+b & b+c & c+a \end{vmatrix}=2(a+b+c)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ c+a & a+b & b+c \\ a+b & b+c & c+a \end{vmatrix}=0$.
$C_{2} \rightarrow C_{2}-C_{1}$ और $C_{3} \rightarrow C_{3}-C_{1}$ लागू करने पर:
$\Delta=2(a+b+c)\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ c+a & b-c & b-a \\ a+b & c-a & c-b \end{vmatrix}=0$.
$R_{1}$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta=2(a+b+c)[(b-c)(c-b)-(b-a)(c-a)] = 2(a+b+c)[-(b-c)^2 - (b-a)(c-a)] = 2(a+b+c)[-b^2-c^2+2bc - (bc-ab-ac+a^2)] = 2(a+b+c)[-a^2-b^2-c^2+ab+bc+ca] = 0$.
इसका अर्थ है $a+b+c=0$ या $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0$.
$2$ से गुणा करने पर,हमें $2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0$ प्राप्त होता है,जो $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$ है।
चूँकि वर्गों का योग शून्य है,इसलिए प्रत्येक पद शून्य होना चाहिए: $a-b=0, b-c=0, c-a=0$,जिसका अर्थ है $a=b=c$।