જો $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ હોય,તો સાબિત કરો કે $A^{n} = \begin{bmatrix} \cos n \theta & \sin n \theta \\ -\sin n \theta & \cos n \theta \end{bmatrix}$ દરેક $n \in N$ માટે.

(A) આપણે ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને પરિણામ સાબિત કરીશું.
ધારો કે $P(n)$ એ વિધાન છે: જો $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ હોય,તો $A^{n} = \begin{bmatrix} \cos n \theta & \sin n \theta \\ -\sin n \theta & \cos n \theta \end{bmatrix}$ જ્યાં $n \in N$.
પગલું $1$: $n = 1$ માટે,$A^{1} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$. જે સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે પરિણામ $n = k$ માટે સત્ય છે. એટલે કે,$A^{k} = \begin{bmatrix} \cos k \theta & \sin k \theta \\ -\sin k \theta & \cos k \theta \end{bmatrix}$.
પગલું $3$: આપણે $n = k + 1$ માટે પરિણામ સાબિત કરીશું.
$A^{k+1} = A \cdot A^{k} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos k \theta & \sin k \theta \\ -\sin k \theta & \cos k \theta \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} \cos \theta \cos k \theta - \sin \theta \sin k \theta & \cos \theta \sin k \theta + \sin \theta \cos k \theta \\ -\sin \theta \cos k \theta - \cos \theta \sin k \theta & -\sin \theta \sin k \theta + \cos \theta \cos k \theta \end{bmatrix}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ અને $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A^{k+1} = \begin{bmatrix} \cos(k+1)\theta & \sin(k+1)\theta \\ -\sin(k+1)\theta & \cos(k+1)\theta \end{bmatrix}$.
આમ,પરિણામ $n = k+1$ માટે પણ સત્ય છે. ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,આ વિધાન તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.