यदि $A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $A^{n}=\begin{bmatrix} 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\ 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\ 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \end{bmatrix}$ सभी $n \in N$ के लिए।
(N/A) दिया गया है $A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$।
हमें गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध करना है कि $P(n): A^{n}=\begin{bmatrix} 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\ 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\ 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \end{bmatrix}$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।
चरण $1$: $n=1$ के लिए,$A^{1} = \begin{bmatrix} 3^{1-1} & 3^{1-1} & 3^{1-1} \\ 3^{1-1} & 3^{1-1} & 3^{1-1} \\ 3^{1-1} & 3^{1-1} & 3^{1-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3^{0} & 3^{0} & 3^{0} \\ 3^{0} & 3^{0} & 3^{0} \\ 3^{0} & 3^{0} & 3^{0} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} = A$। अतः,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि $P(k)$ किसी $k \in N$ के लिए सत्य है,अर्थात $A^{k} = \begin{bmatrix} 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \\ 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \\ 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \end{bmatrix}$।
चरण $3$: हम सिद्ध करेंगे कि $P(k+1)$ सत्य है।
$A^{k+1} = A \cdot A^{k} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \\ 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \\ 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \end{bmatrix}$।
आव्यूह गुणन करने पर,परिणामी आव्यूह का प्रत्येक अवयव $(1 \cdot 3^{k-1} + 1 \cdot 3^{k-1} + 1 \cdot 3^{k-1}) = 3 \cdot 3^{k-1} = 3^{k} = 3^{(k+1)-1}$ होगा।
अतः,$A^{k+1} = \begin{bmatrix} 3^{(k+1)-1} & 3^{(k+1)-1} & 3^{(k+1)-1} \\ 3^{(k+1)-1} & 3^{(k+1)-1} & 3^{(k+1)-1} \\ 3^{(k+1)-1} & 3^{(k+1)-1} & 3^{(k+1)-1} \end{bmatrix}$।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,यह परिणाम सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।
हमें गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध करना है कि $P(n): A^{n}=\begin{bmatrix} 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\ 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\ 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \end{bmatrix}$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।
चरण $1$: $n=1$ के लिए,$A^{1} = \begin{bmatrix} 3^{1-1} & 3^{1-1} & 3^{1-1} \\ 3^{1-1} & 3^{1-1} & 3^{1-1} \\ 3^{1-1} & 3^{1-1} & 3^{1-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3^{0} & 3^{0} & 3^{0} \\ 3^{0} & 3^{0} & 3^{0} \\ 3^{0} & 3^{0} & 3^{0} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} = A$। अतः,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि $P(k)$ किसी $k \in N$ के लिए सत्य है,अर्थात $A^{k} = \begin{bmatrix} 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \\ 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \\ 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \end{bmatrix}$।
चरण $3$: हम सिद्ध करेंगे कि $P(k+1)$ सत्य है।
$A^{k+1} = A \cdot A^{k} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \\ 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \\ 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \end{bmatrix}$।
आव्यूह गुणन करने पर,परिणामी आव्यूह का प्रत्येक अवयव $(1 \cdot 3^{k-1} + 1 \cdot 3^{k-1} + 1 \cdot 3^{k-1}) = 3 \cdot 3^{k-1} = 3^{k} = 3^{(k+1)-1}$ होगा।
अतः,$A^{k+1} = \begin{bmatrix} 3^{(k+1)-1} & 3^{(k+1)-1} & 3^{(k+1)-1} \\ 3^{(k+1)-1} & 3^{(k+1)-1} & 3^{(k+1)-1} \\ 3^{(k+1)-1} & 3^{(k+1)-1} & 3^{(k+1)-1} \end{bmatrix}$।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,यह परिणाम सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।
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$(A) (p-1)^2$ $(B) 2(p-1)$ $(C) (p-1)^2+1$ $(D) 2p-1$
$2.$ $T_p$ में ऐसे आव्यूहों $A$ की संख्या ज्ञात कीजिए जिनका ट्रेस $p$ से विभाज्य नहीं है लेकिन $\det(A)$,$p$ से विभाज्य है:
$(A) (p-1)(p^2-p+1)$ $(B) p^3-(p-1)^2$ $(C) (p-1)^2$ $(D) (p-1)(p^2-2)$
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