यदि $x=a(\cos t+t \sin t)$ और $y=a(\sin t-t \cos t)$ है,तो $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ज्ञात कीजिए।

(D) दिया गया है कि,$x=a(\cos t+t \sin t)$ और $y=a(\sin t-t \cos t).$
सबसे पहले,हम $\frac{dx}{dt}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{dx}{dt} = a \left[ \frac{d}{dt}(\cos t) + \frac{d}{dt}(t \sin t) \right] = a [-\sin t + \sin t + t \cos t] = at \cos t.$
अगला,हम $\frac{dy}{dt}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dt} = a \left[ \frac{d}{dt}(\sin t) - \frac{d}{dt}(t \cos t) \right] = a [\cos t - (\cos t - t \sin t)] = at \sin t.$
अब,$\frac{dy}{dx}$ की गणना करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{at \sin t}{at \cos t} = \tan t.$
अंत में,द्वितीय अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\tan t) = \sec^2 t \cdot \frac{dt}{dx}.$
चूंकि $\frac{dx}{dt} = at \cos t,$ इसलिए $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{at \cos t}.$
अतः,$\frac{d^2y}{dx^2} = \sec^2 t \cdot \frac{1}{at \cos t} = \frac{\sec^3 t}{at}.$