यदि $A = \begin{bmatrix} 0 & \sin \alpha \\ \sin \alpha & 0 \end{bmatrix}$ और $\det\left(A^{2} - \frac{1}{2} I\right) = 0$ है,तो $\alpha$ का एक संभावित मान है

मान लीजिए कि $\alpha$ समीकरण $x^{2}+x+1=0$ का एक मूल है और आव्यूह $A=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \alpha^{2} \\ 1 & \alpha^{2} & \alpha^{4} \end{bmatrix}$ है,तो आव्यूह $A^{31}$ किसके बराबर है?

यदि $A$ और $B$ क्रम $3$ के वर्ग आव्यूह हैं,इस प्रकार कि $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$,तो $(ABA^{-1})^2$ किसके बराबर है?

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{51} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है। यदि $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} A \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ है,तो आव्यूह $\sum_{n=1}^{50} B^n$ के सभी अवयवों का योग क्या होगा?

यदि $B$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,जिसके लिए $B^2 = 0$ है,तो $\det[(I + B)^{50} - 50B]$ का मान ज्ञात कीजिए।