यदि $A$ और $B$ क्रम $3$ के वर्ग आव्यूह हैं,इस प्रकार कि $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$,तो $(ABA^{-1})^2$ किसके बराबर है?

मान लीजिए $M = \begin{bmatrix} 0 & -\alpha \\ \alpha & 0 \end{bmatrix}$,जहाँ $\alpha$ एक शून्येतर वास्तविक संख्या है और $N = \sum_{k=1}^{49} M^{2k}$ है। यदि $(I - M^2)N = -2I$ है,तो $\alpha$ का धनात्मक पूर्णांक मान ज्ञात कीजिए।

यदि $P$ एक नॉन-सिंगुलर मैट्रिक्स (आव्यूह) है, इस प्रकार कि $I+P+P^2+\ldots+P^{n}=0$ ($0$ शून्य आव्यूह को दर्शाता है), तो $P^{-1}=$

यदि $A = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix}$ और $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $|A - xI| = 0$ के मूल हैं,तो $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = $

यदि $P = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}$,$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $Q = PAP^T$ है,तो $P^T(Q^{2005})P$ का मान ज्ञात कीजिए।