જો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશો હોય,તો સાબિત કરો કે $\frac{1}{2}[\vec{b} \times \vec{c}+\vec{c} \times \vec{a}+\vec{a} \times \vec{b}]$ એ ત્રિકોણનું સદિશ ક્ષેત્રફળ દર્શાવે છે. આ પરથી ત્રણ બિંદુઓ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ સમરેખ હોવાની શરત તારવો. ત્રિકોણના સમતલને લંબ એકમ સદિશ પણ શોધો.

(N/A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ છે જેના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે.
$\Delta ABC$ નું સદિશ ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ અને $\overrightarrow{AC} = \vec{c} - \vec{a}$.
સદિશ ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2}[(\vec{b} - \vec{a}) \times (\vec{c} - \vec{a})]$
$= \frac{1}{2}[\vec{b} \times \vec{c} - \vec{b} \times \vec{a} - \vec{a} \times \vec{c} + \vec{a} \times \vec{a}]$
કારણ કે $\vec{a} \times \vec{a} = 0$,$-\vec{b} \times \vec{a} = \vec{a} \times \vec{b}$,અને $-\vec{a} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a}$,તેથી આપણને મળે છે:
સદિશ ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2}[\vec{b} \times \vec{c} + \vec{a} \times \vec{b} + \vec{c} \times \vec{a}]$.
બિંદુઓ સમરેખ હોય તે માટે,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
તેથી,$\frac{1}{2}[\vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b}] = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b} = 0$.
ત્રિકોણના સમતલને લંબ એકમ સદિશ $\hat{n} = \frac{\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|} = \frac{\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}}{|\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}|}$ છે.