यदि int (e^{2x} + 2e^{x} - e^{-x} - 1) e^{(e^ | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int (e^{2x} + 2e^{x} - e^{-x} - 1) e^{(e^{x} + e^{-x})} dx$.हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:$(e^{2x} + 2e^{x} - e^{-x} - 1) = e^{x

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$2$

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(A) माना $I = \int (e^{2x} + 2e^{x} - e^{-x} - 1) e^{(e^{x} + e^{-x})} dx$.हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:$(e^{2x} + 2e^{x} - e^{-x} - 1) = e^{x}(e^{x} + 1) - e^{-x}(e^{x} + 1) + e^{x} = (e^{x} + 1)(e^{x} - e^{-x}) + e^{x}$.अतः,$I = \int (e^{x} + 1)(e^{x} - e^{-x}) e^{(e^{x} + e^{-x})} dx + \int e^{x} e^{(e^{x} + e^{-x})} dx$.प्रथम भाग के लिए खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर:$f(x) = e^{x} + 1$ और $h'(x) = (e^{x} - e^{-x}) e^{(e^{x} + e^{-x})}$ लें।तब $h(x) = e^{(e^{x} + e^{-x})}$.खंडशः समाकलन $\int f h' = fh - \int f' h$ के अनुसार:$I = (e^{x} + 1) e^{(e^{x} + e^{-x})} - \int e^{x} e^{(e^{x} + e^{-x})} dx + \int e^{x} e^{(e^{x} + e^{-x})} dx$.$I = (e^{x} + 1) e^{(e^{x} + e^{-x})} + c$.इसकी तुलना $g(x) e^{(e^{x} + e^{-x})} + c$ से करने पर,हमें $g(x) = e^{x} + 1$ प्राप्त होता है।इसलिए,$g(0) = e^{0} + 1 = 1 + 1 = 2$.

यदि $\int (e^{2x} + 2e^{x} - e^{-x} - 1) e^{(e^{x} + e^{-x})} dx = g(x) e^{(e^{x} + e^{-x})} + c$,जहाँ $c$ समाकलन का एक स्थिरांक है,तो $g(0)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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दिया गया है कि $\int_0^\infty \frac{x^2 \, dx}{(x^2 + a^2)(x^2 + b^2)(x^2 + c^2)} = \frac{\pi}{2(a + b)(b + c)(c + a)}$,तो $\int_0^\infty \frac{x^2 \, dx}{(x^2 + 4)(x^2 + 9)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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