यदि a, b, c, d हरात्मक श्रेणी (H.P.) में हैं, | vedclass

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Question

(A) यदि $a, b, c, d$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं,तो उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}, \frac{1}{d}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ मे

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$3ad$

Vedclass · Answer

(A) यदि $a, b, c, d$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं,तो उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}, \frac{1}{d}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में होंगे।माना सार्व अंतर $k$ है। तब $\frac{1}{b} = \frac{1}{a} + k$,$\frac{1}{c} = \frac{1}{a} + 2k$,और $\frac{1}{d} = \frac{1}{a} + 3k$ होगा।वैकल्पिक रूप से,$H.P.$ के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$b = \frac{2ac}{a+c}$ और $c = \frac{2bd}{b+d}$ प्राप्त होता है।$b = \frac{2ac}{a+c}$ से,$\frac{1}{b} = \frac{a+c}{2ac} = \frac{1}{2c} + \frac{1}{2a}$ मिलता है,जिसका अर्थ है $2ac = b(a+c) = ab + bc$।इसी प्रकार,$c = \frac{2bd}{b+d}$ से,$2bd = c(b+d) = bc + cd$ प्राप्त होता है।इनका योग करने पर,$ab + 2bc + cd = 2ac + 2bd$ प्राप्त होता है।यदि हम $a=1, b=1/2, c=1/3, d=1/4$ रखें,तो $ab+bc+cd = (1)(1/2) + (1/2)(1/3) + (1/3)(1/4) = 1/2 + 1/6 + 1/12 = 9/12 = 3/4$ होगा।चूंकि $3ad = 3(1)(1/4) = 3/4$ है,इसलिए सही उत्तर $3ad$ है।

यदि $a, b, c, d$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं,तो $ab + bc + cd$ का मान क्या होगा?

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