यदि a और b के बीच n गुणोत्तर माध्य G_1, G_2, | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $G$,$a$ और $b$ के बीच का गुणोत्तर माध्य है,इसलिए $G = (ab)^{1/2}$।यदि $G_1, G_2, ..., G_n$,$a$ और $b$ के बीच $n$ गुणोत्तर माध्य हैं

Vedclass · Accepted Answer

$G_1 \cdot G_2 \cdot ... \cdot G_n = G^n$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है कि $G$,$a$ और $b$ के बीच का गुणोत्तर माध्य है,इसलिए $G = (ab)^{1/2}$।यदि $G_1, G_2, ..., G_n$,$a$ और $b$ के बीच $n$ गुणोत्तर माध्य हैं,तो $a, G_1, G_2, ..., G_n, b$ एक गुणोत्तर श्रेणी बनाते हैं जिसमें $n+2$ पद हैं।माना कि सार्व अनुपात $r$ है। तब $b = a r^{n+1}$,जिसका अर्थ है $r = (b/a)^{1/(n+1)}$।$n$ गुणोत्तर माध्यों का गुणनफल $P = G_1 \cdot G_2 \cdot ... \cdot G_n = (ar) \cdot (ar^2) \cdot ... \cdot (ar^n) = a^n r^{1+2+...+n} = a^n r^{n(n+1)/2}$ होता है।$r = (b/a)^{1/(n+1)}$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:$P = a^n \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{n(n+1)}{2(n+1)}} = a^n \left( \frac{b}{a} \right)^{n/2} = a^n \cdot \frac{b^{n/2}}{a^{n/2}} = a^{n/2} b^{n/2} = (ab)^{n/2}$।चूंकि $G = (ab)^{1/2}$,इसलिए $G^n = ((ab)^{1/2})^n = (ab)^{n/2}$।अतः,$G_1 \cdot G_2 \cdot ... \cdot G_n = G^n$।

यदि $a$ और $b$ के बीच $n$ गुणोत्तर माध्य $G_1, G_2, ..., G_n$ हों और एक गुणोत्तर माध्य $G$ हो,तो सही संबंध क्या है?

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