यदि left| asin^2 theta + bsin theta cos theta | vedclass

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Question

(A) माना $E = a\sin^2 	heta + b\sin 	heta \cos 	heta + c\cos^2 	heta - \frac{1}{2}(a + c)$.सर्वसमिकाओं $\sin^2 	heta = \frac{1 - \cos 2	heta}{2}

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$b^2 + (a - c)^2$

Vedclass · Answer

(A) माना $E = a\sin^2 	heta + b\sin 	heta \cos 	heta + c\cos^2 	heta - \frac{1}{2}(a + c)$.सर्वसमिकाओं $\sin^2 	heta = \frac{1 - \cos 2	heta}{2}$ और $\cos^2 	heta = \frac{1 + \cos 2	heta}{2}$ का उपयोग करने पर:$E = a\left( \frac{1 - \cos 2	heta}{2} ight) + b\left( \frac{\sin 2	heta}{2} ight) + c\left( \frac{1 + \cos 2	heta}{2} ight) - \frac{1}{2}(a + c)$$E = \frac{1}{2} [a - a\cos 2	heta + b\sin 2	heta + c + c\cos 2	heta - a - c]$$E = \frac{1}{2} [b\sin 2	heta - (a - c)\cos 2	heta]$हम जानते हैं कि $A\sin x + B\cos x$ के रूप के किसी भी व्यंजक के लिए,उसका परिसर $[-\sqrt{A^2 + B^2}, \sqrt{A^2 + B^2}]$ होता है।अतः,$|b\sin 2	heta - (a - c)\cos 2	heta| \le \sqrt{b^2 + (a - c)^2}$.इस प्रकार,$|E| = \left| \frac{1}{2} [b\sin 2	heta - (a - c)\cos 2	heta] ight| \le \frac{1}{2} \sqrt{b^2 + (a - c)^2}$.दी गई असमिका $|E| \le \frac{1}{2}k$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = \sqrt{b^2 + (a - c)^2}$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$k^2 = b^2 + (a - c)^2$।

यदि $\left| a\sin^2 \theta + b\sin \theta \cos \theta + c\cos^2 \theta - \frac{1}{2}(a + c) \right| \le \frac{1}{2}k$ है,तो $k^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

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