यदि समीकरणों x = a cos(theta - alpha) और y = | vedclass

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Question

(B) दिए गए समीकरण $x = a \cos(	heta - \alpha)$ और $y = b \cos(	heta - \beta)$ हैं।इसका अर्थ है $\frac{x}{a} = \cos(	heta - \alpha)$ और $\frac{y}{b}

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$\sin^2(\alpha - \beta)$

Vedclass · Answer

(B) दिए गए समीकरण $x = a \cos(	heta - \alpha)$ और $y = b \cos(	heta - \beta)$ हैं।इसका अर्थ है $\frac{x}{a} = \cos(	heta - \alpha)$ और $\frac{y}{b} = \cos(	heta - \beta)$।सर्वसमिका $\cos(\alpha - \beta) = \cos((	heta - \beta) - (	heta - \alpha))$ पर विचार करें।सूत्र $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:$\cos(\alpha - \beta) = \cos(	heta - \beta) \cos(	heta - \alpha) + \sin(	heta - \beta) \sin(	heta - \alpha)$।मान प्रतिस्थापित करने पर:$\cos(\alpha - \beta) = \frac{y}{b} \cdot \frac{x}{a} + \sqrt{1 - \frac{y^2}{b^2}} \cdot \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}$।पदों को व्यवस्थित करने पर:$\cos(\alpha - \beta) - \frac{xy}{ab} = \sqrt{1 - \frac{y^2}{b^2}} \cdot \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}$।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:$\left(\cos(\alpha - \beta) - \frac{xy}{ab}ight)^2 = \left(1 - \frac{y^2}{b^2}ight) \left(1 - \frac{x^2}{a^2}ight)$।$\cos^2(\alpha - \beta) + \frac{x^2y^2}{a^2b^2} - \frac{2xy}{ab} \cos(\alpha - \beta) = 1 - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} + \frac{x^2y^2}{a^2b^2}$।दोनों पक्षों से $\frac{x^2y^2}{a^2b^2}$ को काटने और व्यवस्थित करने पर:$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{2xy}{ab} \cos(\alpha - \beta) = 1 - \cos^2(\alpha - \beta)$।चूंकि $1 - \cos^2(	heta) = \sin^2(	heta)$,इसलिए व्यंजक का मान $\sin^2(\alpha - \beta)$ है।

यदि समीकरणों $x = a \cos(\theta - \alpha)$ और $y = b \cos(\theta - \beta)$ से $\theta$ को विलुप्त किया जाए,तो $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{2xy}{ab} \cos(\alpha - \beta)$ का मान क्या होगा?

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