જો $n$ એક એકી પૂર્ણાંક હોય,તો સાબિત કરો કે $n^{2}-1$ એ $8$ વડે વિભાજ્ય છે.

(N/A) ધારો કે $n$ એક એકી પૂર્ણાંક છે. કોઈપણ એકી પૂર્ણાંકને કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે $n = 2k + 1$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે.
આ કિંમતને $n^{2} - 1$ પદાવલિમાં મૂકતા:
$n^{2} - 1 = (2k + 1)^{2} - 1$
$= (4k^{2} + 4k + 1) - 1$
$= 4k^{2} + 4k$
$= 4k(k + 1)$
અહીં $k$ અને $k + 1$ ક્રમિક પૂર્ણાંકો હોવાથી,તેમાંથી એક સંખ્યા બેકી હશે. તેથી,તેમનો ગુણાકાર $k(k + 1)$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે.
ધારો કે $k(k + 1) = 2m$,જ્યાં $m$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
તેથી,$n^{2} - 1 = 4(2m) = 8m$.
આમ,$n^{2} - 1$ એ $8$ નો ગુણક હોવાથી,તે કોઈપણ એકી પૂર્ણાંક $n$ માટે $8$ વડે વિભાજ્ય છે.