Class 9MathematicsAreas of Parallelograms and TrianglesMix Examples - Areas of Parallelograms and Triangles
Difficultयदि $E, F, G$ और $H$ क्रमशः समांतर चतुर्भुज $ABCD$ की भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं,तो दर्शाइए कि $ar(EFGH) = \frac{1}{2} ar(ABCD)$ है।
(N/A) समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,$E, F, G$ और $H$ क्रमशः $AB, BC, CD$ और $DA$ के मध्य-बिंदु हैं। $GE$ को मिलाइए।
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,$AB \parallel CD$ और $AB = CD$ है।
$\therefore BE \parallel CG$ और $BE = (\frac{1}{2} AB) = CG = (\frac{1}{2} CD)$ है।
$\therefore$ चतुर्भुज $EBCG$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$\therefore GE \parallel BC$ है।
अब,$\Delta EFG$ और समांतर चतुर्भुज $EBCG$ एक ही आधार $GE$ पर और समांतर रेखाओं $GE$ और $BC$ के बीच स्थित हैं।
$\therefore ar(EFG) = \frac{1}{2} ar(EBCG)$ ... $(1)$
इसी प्रकार,$\Delta EHG$ और समांतर चतुर्भुज $AEGD$ एक ही आधार $GE$ पर और समांतर रेखाओं $GE$ और $AD$ के बीच स्थित हैं।
$\therefore ar(EHG) = \frac{1}{2} ar(AEGD)$ ... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,
$ar(EFG) + ar(EHG) = \frac{1}{2} ar(EBCG) + \frac{1}{2} ar(AEGD)$
$\therefore ar(EFGH) = \frac{1}{2} [ar(EBCG) + ar(AEGD)]$
$\therefore ar(EFGH) = \frac{1}{2} ar(ABCD)$
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,$AB \parallel CD$ और $AB = CD$ है।
$\therefore BE \parallel CG$ और $BE = (\frac{1}{2} AB) = CG = (\frac{1}{2} CD)$ है।
$\therefore$ चतुर्भुज $EBCG$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$\therefore GE \parallel BC$ है।
अब,$\Delta EFG$ और समांतर चतुर्भुज $EBCG$ एक ही आधार $GE$ पर और समांतर रेखाओं $GE$ और $BC$ के बीच स्थित हैं।
$\therefore ar(EFG) = \frac{1}{2} ar(EBCG)$ ... $(1)$
इसी प्रकार,$\Delta EHG$ और समांतर चतुर्भुज $AEGD$ एक ही आधार $GE$ पर और समांतर रेखाओं $GE$ और $AD$ के बीच स्थित हैं।
$\therefore ar(EHG) = \frac{1}{2} ar(AEGD)$ ... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,
$ar(EFG) + ar(EHG) = \frac{1}{2} ar(EBCG) + \frac{1}{2} ar(AEGD)$
$\therefore ar(EFGH) = \frac{1}{2} [ar(EBCG) + ar(AEGD)]$
$\therefore ar(EFGH) = \frac{1}{2} ar(ABCD)$
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