यदि f(x) और g(x) दो बहुपद इस प्रकार हैं कि बह | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $P(x) = f(x^3) + xg(x^3)$।चूंकि $P(x)$,$x^2 + x + 1$ से विभाज्य है,इसलिए इसे $x^2 + x + 1 = 0$ के मूलों पर शून्य होना चाहिए। मान लीजिए

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(D) दिया गया है $P(x) = f(x^3) + xg(x^3)$।चूंकि $P(x)$,$x^2 + x + 1$ से विभाज्य है,इसलिए इसे $x^2 + x + 1 = 0$ के मूलों पर शून्य होना चाहिए। मान लीजिए $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,तो $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ और $\omega^3 = 1$ होता है।मूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं। अतः,$P(\omega) = 0$ और $P(\omega^2) = 0$।$P(\omega) = f(\omega^3) + \omega g(\omega^3) = f(1) + \omega g(1) = 0$  (समीकरण $1$)$P(\omega^2) = f((\omega^2)^3) + \omega^2 g((\omega^2)^3) = f(\omega^6) + \omega^2 g(\omega^6) = f(1) + \omega^2 g(1) = 0$  (समीकरण $2$)समीकरण $1$ से समीकरण $2$ को घटाने पर:$(f(1) + \omega g(1)) - (f(1) + \omega^2 g(1)) = 0$$(\omega - \omega^2) g(1) = 0$चूंकि $\omega 
eq \omega^2$,इसलिए $g(1) = 0$ होना चाहिए।$g(1) = 0$ को समीकरण $1$ में रखने पर:$f(1) + \omega(0) = 0 \Rightarrow f(1) = 0$।हमें $P(1)$ ज्ञात करना है:$P(1) = f(1^3) + 1 \cdot g(1^3) = f(1) + g(1) = 0 + 0 = 0$।

यदि $f(x)$ और $g(x)$ दो बहुपद इस प्रकार हैं कि बहुपद $P(x) = f(x^3) + xg(x^3)$,$x^2 + x + 1$ से विभाज्य है,तो $P(1)$ का मान ....... है।

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