यदि frac{sin ^{-1} x}{a}=frac{cos ^{-1} x}{b} | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $\frac{\sin ^{-1} x}{a} = \frac{\cos ^{-1} x}{b} = \frac{	an ^{-1} y}{c} = k$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है)। तब $\sin ^{-1} x = ak$,$\

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$\frac{1-y^{2}}{1+y^{2}}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है कि $\frac{\sin ^{-1} x}{a} = \frac{\cos ^{-1} x}{b} = \frac{	an ^{-1} y}{c} = k$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है)। तब $\sin ^{-1} x = ak$,$\cos ^{-1} x = bk$,और $	an ^{-1} y = ck$ है। हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होता है। मान रखने पर,$ak + bk = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $k(a + b) = \frac{\pi}{2}$,या $a + b = \frac{\pi}{2k}$। अब,हमें $\cos \left(\frac{\pi c}{a + b}ight)$ का मान ज्ञात करना है। $a + b = \frac{\pi}{2k}$ रखने पर,हमें $\cos \left(\frac{\pi c}{\frac{\pi}{2k}}ight) = \cos (2ck)$ प्राप्त होता है। चूंकि $	an ^{-1} y = ck$,इसलिए $\cos (2ck) = \cos (2 	an ^{-1} y)$। सूत्र $\cos (2	heta) = \frac{1 - 	an^2 	heta}{1 + 	an^2 	heta}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $	heta = 	an ^{-1} y$,हमें $\cos (2 	an ^{-1} y) = \frac{1 - y^2}{1 + y^2}$ प्राप्त होता है।

यदि $\frac{\sin ^{-1} x}{a}=\frac{\cos ^{-1} x}{b}=\frac{\tan ^{-1} y}{c}$ और $0 < x < 1$ है,तो $\cos \left(\frac{\pi c}{a + b}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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