यदि [x],x से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} [[x] - \sin x] \, dx$. निश्चित समाकलन के गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \, dx$ का उपयोग

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$-\pi$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} [[x] - \sin x] \, dx$. निश्चित समाकलन के गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \, dx$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a+b = 0$: $I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} [[-x] - \sin(-x)] \, dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} [[-x] + \sin x] \, dx$. दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} ([[x] - \sin x] + [[-x] + \sin x]) \, dx$. गुणधर्म $[y] + [-y] = -1$ (जब $y$ पूर्णांक न हो) का उपयोग करने पर,समाकल्य का मान $-2$ प्राप्त होता है। $2I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (-2) \, dx = -2 [x]_{-\pi/2}^{\pi/2} = -2(\pi) = -2\pi$. अतः,$I = -\pi$.

यदि $[x]$,$x$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है,तो समाकलन $\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} [[x] - \sin x] \, dx$ का मान क्या होगा?

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