यदि A = begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.हम देख सकते हैं कि $A = I + N$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है और $N

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$2020$

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(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.हम देख सकते हैं कि $A = I + N$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है और $N = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ है।यहाँ $N^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ और $N^3 = 0$ है।द्विपद प्रसार का उपयोग करते हुए,$A^n = (I+N)^n = I + nN + \frac{n(n-1)}{2}N^2$.अतः,$A^n = \begin{bmatrix} 1 & n & \frac{n^2+n}{2} \ 0 & 1 & n \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।$A^n$ के अवयवों का योग $S_n = 1 + n + \frac{n^2+n}{2} + 0 + 1 + n + 0 + 0 + 1 = 3 + 2n + \frac{n^2+n}{2} = 3 + \frac{5n+n^2}{2}$ है।$M$ के अवयवों का योग $= \sum_{n=1}^{20} S_n = \sum_{n=1}^{20} (3 + \frac{5}{2}n + \frac{1}{2}n^2) = 3(20) + \frac{5}{2} \frac{20(21)}{2} + \frac{1}{2} \frac{20(21)(41)}{6}$.$= 60 + 525 + 1435 = 2020$.

यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $M = A + A^{2} + A^{3} + \dots + A^{20}$ है,तो आव्यूह $M$ के सभी अवयवों का योग $.....$ के बराबर है।

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