यदि $\int \limits_0^1 \frac{1}{\left(5+2 x -2 x ^2\right)\left(1+ e ^{(2-4 x)}\right)} dx =\frac{1}{\alpha} \log _{ e }\left(\frac{\alpha+1}{\beta}\right)$ जहाँ $\alpha, \beta > 0$,तो $\alpha^4-\beta^4$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $f(t) = \int_0^\pi \frac{2x \, dx}{1 - \cos^2 t \sin^2 x}$,जहाँ $0 < t < \pi$,तो $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\pi^2 \, dt}{f(t)}$ का मान .......... है।

समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_0^\pi \frac{x}{\sin x}(3 \cos^2 x + 2 \sin x + \sin^3 x - 3) dx$

यदि $m, l, r, s, n$ ऐसे पूर्णांक हैं कि $9 > m > l > s > n > r > 2$ और $\int_{-2 \pi}^{2 \pi} \sin ^m x \cos ^n x \, dx = 4 \int_0^\pi \sin ^m x \cos ^n x \, dx$, $\int_{-\pi}^\pi \sin ^r x \cos ^s x \, dx = 4 \int_0^{\pi / 2} \sin ^r x \cos ^s x \, dx$ और $\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^l x \cos ^m x \, dx = 0$ है, तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

समाकलन $\int \limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x+\frac{\pi}{4}}{2-\cos 2 x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए :

मान लीजिए कि $f, f', f''$ अंतराल $[0, \ln 2]$ में सतत हैं और $f(0) = 0, f'(0) = 3, f(\ln 2) = 6, f'(\ln 2) = 4$ तथा $\int_{0}^{\ln 2} e^{-2x} f(x) dx = 3$ है,तो $\int_{0}^{\ln 2} e^{-2x} f''(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।