यदि m, l, r, s, n ऐसे पूर्णांक हैं कि 9 m | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $9 > m > l > s > n > r > 2$ ... $(i)$ $\int_{-2 \pi}^{2 \pi} \sin ^m x \cos ^n x \, dx = 4 \int_0^\pi \sin ^m x \cos ^n x \, dx$ के लि

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$(s-2)(s+2) = ln - 3$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $9 > m > l > s > n > r > 2$ ... $(i)$ $\int_{-2 \pi}^{2 \pi} \sin ^m x \cos ^n x \, dx = 4 \int_0^\pi \sin ^m x \cos ^n x \, dx$ के लिए, $[-2\pi, 2\pi]$ पर समाकलन $4 \int_0^{\pi} f(x) dx$ तभी होता है यदि $m$ सम संख्या हो। अतः, $m = 8$. $\int_{-\pi}^\pi \sin ^r x \cos ^s x \, dx = 4 \int_0^{\pi / 2} \sin ^r x \cos ^s x \, dx$ के लिए, यह तभी संभव है यदि $r$ और $s$ दोनों सम संख्याएँ हों। शर्तों $9 > m > l > s > n > r > 2$ और $m=8$ को देखते हुए, हमारे पास $8 > l > s > n > r > 2$ है। $\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^l x \cos ^m x \, dx = 0$ के लिए, फलन विषम होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि $l$ एक विषम संख्या है। $m=8$ के साथ, शेष पूर्णांक $7, 6, 5, 4, 3$ हैं। चूंकि $l$ विषम है और $l चूंकि $s$ सम है और $s चूंकि $n  r > 2$, इसलिए $n=5, r=4$ प्राप्त होता है। विकल्पों की जाँच करने पर: $(s-2)(s+2) = (6-2)(6+2) = 4 	imes 8 = 32$. $ln - 3 = (7 	imes 5) - 3 = 35 - 3 = 32$. अतः, $(s-2)(s+2) = ln - 3$ सत्य है।

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यदि $f(a+b+1-x)=f(x)$ सभी $x$ के लिए है,जहाँ $a$ और $b$ निश्चित धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं,तो $\frac{1}{a+b} \int_{a}^{b} x(f(x)+f(x+1)) dx$ का मान क्या होगा?

$\int_{-1/2}^{1/2} (\cos x) \left[ \log \left( \frac{1-x}{1+x} \right) \right] dx = $

$\int_0^1 \frac{8 \log (1+x)}{1+x^2} \,d x=$

$\int_{\pi / 11}^{9 \pi / 22} \frac{d x}{1+\sqrt{\tan x}} = $

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{1+\sqrt{\cot x}} d x=$

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