int_{-1/2}^{1/2} (cos x) left[ log left( frac | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{-1/2}^{1/2} f(x) dx$,जहाँ $f(x) = (\cos x) \left[ \log \left( \frac{1-x}{1+x} \right) \right]$ है।जाँच करें कि फलन विषम है या सम:$

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$0$

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(A) माना $I = \int_{-1/2}^{1/2} f(x) dx$,जहाँ $f(x) = (\cos x) \left[ \log \left( \frac{1-x}{1+x} \right) \right]$ है।जाँच करें कि फलन विषम है या सम:$f(-x) = \cos(-x) \left[ \log \left( \frac{1-(-x)}{1+(-x)} \right) \right]$चूँकि $\cos(-x) = \cos x$ और $\log \left( \frac{1+x}{1-x} \right) = \log \left( \left( \frac{1-x}{1+x} \right)^{-1} \right) = -\log \left( \frac{1-x}{1+x} \right)$,अतः हमें प्राप्त होता है $f(-x) = \cos x \left[ -\log \left( \frac{1-x}{1+x} \right) \right] = -f(x)$।चूँकि $f(x)$ एक विषम फलन है और समाकलन की सीमाएँ सममित $[-a, a]$ हैं,इसलिए समाकलन का मान $0$ है।

$\int_{-1/2}^{1/2} (\cos x) \left[ \log \left( \frac{1-x}{1+x} \right) \right] dx = $

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समाकल $\frac{48}{\pi^{4}} \int_{0}^{\pi} \left(\frac{3 \pi x^{2}}{2} - x^{3}\right) \frac{\sin x}{1 + \cos^{2} x} dx$ का मान किसके बराबर है?

निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

$\int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{dx}{1+\sqrt{\cot x}} = $ . . . . . . .

$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (3\sin x + \sin^3 x) \, dx$ का मान है

समाकलन $\int_0^{\pi / 2} \log \left(\frac{4+3 \sin x}{4+3 \cos x}\right) d x$ का मान है

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