int_{-pi/2}^{pi/2} (3sin x + sin^3 x) , dx का | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (3\sin x + \sin^3 x) \, dx$.फलन $f(x) = 3\sin x + \sin^3 x$ पर विचार करें।$x$ के स्थान पर $-x$ रखकर जाँचें कि फलन

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(C) माना $I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (3\sin x + \sin^3 x) \, dx$.फलन $f(x) = 3\sin x + \sin^3 x$ पर विचार करें।$x$ के स्थान पर $-x$ रखकर जाँचें कि फलन सम है या विषम:$f(-x) = 3\sin(-x) + \sin^3(-x)$चूँकि $\sin(-x) = -\sin x$,इसलिए:$f(-x) = 3(-\sin x) + (-\sin x)^3 = -3\sin x - \sin^3 x = -(3\sin x + \sin^3 x) = -f(x)$.चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ होता है।अतः,$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (3\sin x + \sin^3 x) \, dx = 0$।

$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (3\sin x + \sin^3 x) \, dx$ का मान है

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$\int_0^1 {\log \sin \left( {\frac{\pi }{2}x} \right)} \,dx = $

$\int_1^3 \left[ \tan^{-1} \left( \frac{x}{x^2-1} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{x^2-1}{x} \right) \right] dx =$

यदि $2 \int_0^1 \tan^{-1} x \, dx = \int_0^1 \cot^{-1} (1 - x + x^2) \, dx$ है,तो $\int_0^1 \tan^{-1} (1 - x + x^2) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $2f(x) + f(-x) = \frac{1}{x} \sin \left( x - \frac{1}{x} \right)$ है,तो $\int_{1/e}^{e} f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int\limits_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{1 + (2017)^x} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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