मान लीजिए 2f(x) + f(-x) = frac{1}{x} sin left | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $2f(x) + f(-x) = \frac{1}{x} \sin \left( x - \frac{1}{x} \right)$  .....$(1)$$x$ को $-x$ से बदलने पर,हमें मिलता है $2f(-x) + f(x) = \f

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(A) दिया गया है $2f(x) + f(-x) = \frac{1}{x} \sin \left( x - \frac{1}{x} \right)$  .....$(1)$$x$ को $-x$ से बदलने पर,हमें मिलता है $2f(-x) + f(x) = \frac{1}{-x} \sin \left( -x - \frac{1}{-x} \right) = \frac{1}{x} \sin \left( x - \frac{1}{x} \right)$  .....$(2)$समीकरण $(1)$ को $2$ से गुणा करके $(2)$ को घटाने पर,$3f(x) = \frac{1}{x} \sin \left( x - \frac{1}{x} \right)$ प्राप्त होता है।अतः,$f(x) = \frac{1}{3x} \sin \left( x - \frac{1}{x} \right)$अब,$I = \int_{1/e}^{e} f(x) dx = \frac{1}{3} \int_{1/e}^{e} \frac{1}{x} \sin \left( x - \frac{1}{x} \right) dx$$x = 1/t$ प्रतिस्थापन लेने पर,$dx = -1/t^2 dt$। सीमाएँ $1/e$ से $e$ बदलकर $e$ से $1/e$ हो जाएंगी।$I = \frac{1}{3} \int_{e}^{1/e} t \sin \left( \frac{1}{t} - t \right) (-1/t^2) dt = \frac{1}{3} \int_{e}^{1/e} \frac{1}{t} \sin \left( t - \frac{1}{t} \right) dt = -I$इस प्रकार,$2I = 0$ अर्थात $I = 0$।

मान लीजिए $2f(x) + f(-x) = \frac{1}{x} \sin \left( x - \frac{1}{x} \right)$ है,तो $\int_{1/e}^{e} f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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