यदि I = int_0^{frac{pi}{4}} log (1 + tan x) , | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log (1 + 	an x) \, dx$ है। गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a - x) \, dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_

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$\frac{\pi}{8} \log 2$

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(C) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log (1 + 	an x) \, dx$ है। गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a - x) \, dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left[ 1 + 	an \left( \frac{\pi}{4} - x ight) ight] \, dx$ चूँकि $	an \left( \frac{\pi}{4} - x ight) = \frac{1 - 	an x}{1 + 	an x}$,इसलिए: $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left( 1 + \frac{1 - 	an x}{1 + 	an x} ight) \, dx$ $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left( \frac{2}{1 + 	an x} ight) \, dx$ $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\log 2 - \log (1 + 	an x)) \, dx$ $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log 2 \, dx - I$ $2I = \log 2 [x]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{4} \log 2$ $I = \frac{\pi}{8} \log 2$

यदि $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log (1 + \tan x) \, dx$ है,तो $I$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int_0^{1/2} |\sin(4\pi x)| \, dx =$

$\int \limits_{0}^{\pi} \frac{e^{\cos x} \sin x}{\left(1+\cos ^{2} x\right)\left(e^{\cos x}+e^{-\cos x}\right)} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-\pi}^{\pi} x^2 \sin x \, dx =$

$\int_{0}^{2\pi} [\sin 2x(1 + \cos 3x)] \,dx$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $[t]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है।

यदि $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है,तो समाकलन $\int_{0}^{\pi} [\cos x] \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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