int_{0}^{2pi} [sin 2x(1 + cos 3x)] ,dx का मान | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{0}^{2\pi} [\sin 2x(1 + \cos 3x)] \,dx$.गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) \,dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \,dx$ का उपयोग करते हुए,हम देखते हैं

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$-\pi$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int_{0}^{2\pi} [\sin 2x(1 + \cos 3x)] \,dx$.गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) \,dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \,dx$ का उपयोग करते हुए,हम देखते हैं कि फलन $f(x) = [\sin 2x(1 + \cos 3x)]$ के लिए $f(2\pi - x) = [\sin(4\pi - 2x)(1 + \cos(6\pi - 3x))] = [-\sin 2x(1 + \cos 3x)]$ होता है।गुणधर्म $\int_{0}^{a} [f(x) + f(a-x)] \,dx$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि किसी भी $x$ के लिए जहाँ $\sin 2x(1 + \cos 3x)$ पूर्णांक नहीं है,$[t] + [-t] = -1$ होता है।चूँकि फलन अंतराल $[0, 2\pi]$ में लगभग हर जगह पूर्णांक नहीं है,इसलिए:$2I = \int_{0}^{2\pi} ( [\sin 2x(1 + \cos 3x)] + [-\sin 2x(1 + \cos 3x)] ) \,dx$$2I = \int_{0}^{2\pi} -1 \,dx = -2\pi$.अतः,$I = -\pi$.

$\int_{0}^{2\pi} [\sin 2x(1 + \cos 3x)] \,dx$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $[t]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है।

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मान लीजिए कि $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ और $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ सतत फलन हैं। तो समाकलन $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} [f(x)+f(-x)][g(x)-g(-x)] \, dx$ का मान है

$\int_0^\infty \frac{\log(1 + x^2)}{1 + x^2} \,dx = $

$\int_{a-6}^{b-6} f(x+6) dx$ किसके बराबर है?

यदि $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log (1 + \tan x) \, dx$ है,तो $I$ का मान ज्ञात कीजिए।

निश्चित समाकलन $\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{\tan x} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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