int_0^infty frac{log(1 + x^2)}{1 + x^2} ,dx = | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_0^\infty \frac{\log(1 + x^2)}{1 + x^2} \,dx$ है। $x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \sec^2 	heta \,d	heta$ प्राप्त होता

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$\pi \log 2$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int_0^\infty \frac{\log(1 + x^2)}{1 + x^2} \,dx$ है। $x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \sec^2 	heta \,d	heta$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$ तब $	heta = 0$ और जब $x 	o \infty$ तब $	heta = \frac{\pi}{2}$ होता है। अतः,$I = \int_0^{\pi/2} \frac{\log(1 + 	an^2 	heta)}{1 + 	an^2 	heta} \cdot \sec^2 	heta \,d	heta$. चूँकि $1 + 	an^2 	heta = \sec^2 	heta$,इसलिए $I = \int_0^{\pi/2} \log(\sec^2 	heta) \,d	heta$. $\log(a^b) = b \log a$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$I = 2 \int_0^{\pi/2} \log(\sec 	heta) \,d	heta$. चूँकि $\sec 	heta = \frac{1}{\cos 	heta}$,इसलिए $\log(\sec 	heta) = -\log(\cos 	heta)$ होता है। अतः,$I = -2 \int_0^{\pi/2} \log(\cos 	heta) \,d	heta$. मानक समाकलन $\int_0^{\pi/2} \log(\cos 	heta) \,d	heta = -\frac{\pi}{2} \log 2$ का उपयोग करने पर: $I = -2 \left( -\frac{\pi}{2} \log 2 ight) = \pi \log 2$.

$\int_0^\infty \frac{\log(1 + x^2)}{1 + x^2} \,dx = $

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