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Question

(D) मान लीजिए $h(x) = [f(x)+f(-x)][g(x)-g(-x)]$ है। हम $h(-x)$ का मूल्यांकन करते हैं: $h(-x) = [f(-x)+f(x)][g(-x)-g(x)]$। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता ह

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(D) मान लीजिए $h(x) = [f(x)+f(-x)][g(x)-g(-x)]$ है। हम $h(-x)$ का मूल्यांकन करते हैं: $h(-x) = [f(-x)+f(x)][g(-x)-g(x)]$। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $h(-x) = [f(x)+f(-x)] \cdot -[g(x)-g(-x)]$। $h(-x) = -[f(x)+f(-x)][g(x)-g(-x)] = -h(x)$। चूंकि $h(-x) = -h(x)$,इसलिए फलन $h(x)$ एक विषम (odd) फलन है। निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $h(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} h(x) \, dx = 0$ होता है। अतः,$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} [f(x)+f(-x)][g(x)-g(-x)] \, dx = 0$।

मान लीजिए कि $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ और $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ सतत फलन हैं। तो समाकलन $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} [f(x)+f(-x)][g(x)-g(-x)] \, dx$ का मान है

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$\int \limits_{0}^{\pi} \frac{e^{\cos x} \sin x}{\left(1+\cos ^{2} x\right)\left(e^{\cos x}+e^{-\cos x}\right)} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{\frac{3}{2}} x}{\sin^{\frac{3}{2}} x + \cos^{\frac{3}{2}} x} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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