यदि lim _{x rightarrow 0} frac{3+alpha sin x+ | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $\lim _{x ightarrow 0} \frac{3+\alpha \sin x+\beta \cos x+\log _e(1-x)}{3 	an ^2 x}=\frac{1}{3}$।$\sin x$,$\cos x$,और $\log _e(1-x)

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(C) दिया गया है $\lim _{x ightarrow 0} \frac{3+\alpha \sin x+\beta \cos x+\log _e(1-x)}{3 	an ^2 x}=\frac{1}{3}$।$\sin x$,$\cos x$,और $\log _e(1-x)$ के लिए टेलर श्रेणी का उपयोग करने पर:$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \dots$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \dots$$\log _e(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \dots$अंश में मान रखने पर:$3 + \alpha(x - \frac{x^3}{6}) + \beta(1 - \frac{x^2}{2}) + (-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}) = (3+\beta) + (\alpha-1)x - (\frac{\beta+1}{2})x^2 + \dots$सीमा के अस्तित्व के लिए $x^0$ और $x^1$ के गुणांक शून्य होने चाहिए:$3+\beta = 0 \Rightarrow \beta = -3$$\alpha-1 = 0 \Rightarrow \alpha = 1$अतः,$2\alpha - \beta = 2(1) - (-3) = 2 + 3 = 5$।

यदि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3+\alpha \sin x+\beta \cos x+\log _e(1-x)}{3 \tan ^2 x}=\frac{1}{3}$ है,तो $2 \alpha-\beta$ का मान ज्ञात कीजिए:

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