यदि z = frac{1}{2} - 2i इस प्रकार है कि |z+1| | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $z = \frac{1}{2} - 2i$। समीकरण $|z+1| = \alpha z + \beta(1+i)$ में $z$ का मान रखने पर: $|(\frac{1}{2} - 2i) + 1| = \alpha(\frac{1}{2}

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$3$

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(B) दिया गया है $z = \frac{1}{2} - 2i$। समीकरण $|z+1| = \alpha z + \beta(1+i)$ में $z$ का मान रखने पर: $|(\frac{1}{2} - 2i) + 1| = \alpha(\frac{1}{2} - 2i) + \beta(1+i)$ $|\frac{3}{2} - 2i| = (\frac{\alpha}{2} + \beta) + (\beta - 2\alpha)i$ बाएँ पक्ष का मापांक ज्ञात करने पर: $|\frac{3}{2} - 2i| = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (-2)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$ वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर: काल्पनिक भाग: $\beta - 2\alpha = 0 \implies \beta = 2\alpha$ वास्तविक भाग: $\frac{\alpha}{2} + \beta = \frac{5}{2}$ $\beta = 2\alpha$ को वास्तविक भाग के समीकरण में रखने पर: $\frac{\alpha}{2} + 2\alpha = \frac{5}{2}$ $\frac{5\alpha}{2} = \frac{5}{2} \implies \alpha = 1$ अतः $\beta = 2(1) = 2$। इसलिए,$\alpha + \beta = 1 + 2 = 3$।

यदि $z = \frac{1}{2} - 2i$ इस प्रकार है कि $|z+1| = \alpha z + \beta(1+i)$,जहाँ $i = \sqrt{-1}$ और $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$,तो $\alpha + \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

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