यदि $\frac{{}^{11}C_1}{2} + \frac{{}^{11}C_2}{3} + \dots + \frac{{}^{11}C_9}{10} = \frac{n}{m}$ जहाँ $\gcd(n, m) = 1$ है,तो $n + m$ का मान ज्ञात कीजिए।

विस्तार $(1+x+x^2)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_{2n} x^{2n}$ के लिए सूची-$I$ में दिए गए व्यंजकों को सूची-$II$ में उनके मानों के साथ सुमेलित कीजिए।

सूची-$I$	सूची-$II$
$(A)$ $a_0 + a_2 + \ldots + a_{2n}$	$(I)$ $n \cdot 3^{n-1}$
$(B)$ $a_1 + a_3 + \ldots + a_{2n-1}$	$(II)$ $n \cdot 3^n$
$(C)$ $a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2n a_{2n}$	$(III)$ $\frac{1}{2}(3^n + 1)$
	$(IV)$ $\frac{1}{2}(3^n - 1)$

सही मिलान है:

$\sum\limits_{r = 0}^m {^{n + r}{C_n} = } $

मान लीजिए कि $\sum_{r=0}^{2023} r \cdot ^{2023}C_r = 2023 \times \alpha \times 2^{2022}$ है। तो $\alpha$ का मान $............$ है।

मान लीजिए $(1+x)^{10} = \sum_{r=0}^{10} c_{r} x^{r}$ और $(1+x)^{7} = \sum_{r=0}^{7} d_{r} x^{r}$ है। यदि $P = \sum_{r=0}^{5} c_{2r}$ और $Q = \sum_{r=0}^{3} d_{2r+1}$ है, तो $\frac{P}{Q}$ का मान ज्ञात कीजिए:

$(3x-1)^{15}$ के विस्तार में $x^r$ (जहाँ $r=0, 1, 2, \ldots, 15$) के गुणांकों का योग निम्नलिखित में से किस विस्तार के द्विपद गुणांकों के योग के बराबर है?
$(a)\ (1+x)^{15}$
$(b)\ (1+x)^{16}+(1-x)^{16}$
$(c)\ (1+x)^{16}-(1-x)^{16}$