sumlimits_{r = 0}^m {^{n + r}{C_n} = } | vedclass

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Question

(A) हम सर्वसमिका $^{n}{C_{r}} = {^{n}}{C_{n-r}}$ और हॉकी-स्टिक सर्वसमिका $\sum_{i=r}^{n} {^{i}{C_{r}}} = {^{n+1}}{C_{r+1}}$ का उपयोग करते हैं।दिया गया

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$^{n + m + 1}{C_{n + 1}}$

Vedclass · Answer

(A) हम सर्वसमिका $^{n}{C_{r}} = {^{n}}{C_{n-r}}$ और हॉकी-स्टिक सर्वसमिका $\sum_{i=r}^{n} {^{i}{C_{r}}} = {^{n+1}}{C_{r+1}}$ का उपयोग करते हैं।दिया गया योग $S = \sum_{r=0}^{m} {^{n+r}{C_{n}}}$ है।गुणधर्म $^{n+r}{C_{n}} = {^{n+r}}{C_{(n+r)-n}} = {^{n+r}}{C_{r}}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:$S = \sum_{r=0}^{m} {^{n+r}{C_{r}}} = {^{n}{C_{0}}} + {^{n+1}}{C_{1}} + {^{n+2}}{C_{2}} + \dots + {^{n+m}}{C_{m}}$.हॉकी-स्टिक सर्वसमिका के अनुसार,$\sum_{k=0}^{m} {^{n+k}{C_{k}}} = {^{n+m+1}}{C_{m}}$।चूंकि ${^{n+m+1}}{C_{m}} = {^{n+m+1}}{C_{(n+m+1)-m}} = {^{n+m+1}}{C_{n+1}}$,इसलिए परिणाम ${^{n+m+1}}{C_{n+1}}$ है।

$\sum\limits_{r = 0}^m {^{n + r}{C_n} = } $

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