यदि alpha = lim_{x rightarrow 0^{+}} left( fr | vedclass

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Question

(B) सबसे पहले,$\alpha$ का मान ज्ञात करें: $\alpha = \lim_{x ightarrow 0^{+}} \frac{e^{\sqrt{	an x}} - e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{	an x} - \sqrt{x}}$. मान

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$6$

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(B) सबसे पहले,$\alpha$ का मान ज्ञात करें: $\alpha = \lim_{x ightarrow 0^{+}} \frac{e^{\sqrt{	an x}} - e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{	an x} - \sqrt{x}}$. माना $u = \sqrt{	an x} - \sqrt{x}$. जैसे $x ightarrow 0^{+}$,$u ightarrow 0$. $\lim_{u ightarrow 0} \frac{e^{u+\sqrt{x}} - e^{\sqrt{x}}}{u} = e^{\sqrt{x}} \lim_{u ightarrow 0} \frac{e^u - 1}{u} = e^{\sqrt{x}} \cdot 1$. $x=0$ पर,$\alpha = e^0 = 1$. अब,$\beta$ का मान ज्ञात करें: $\beta = \lim_{x ightarrow 0} (1 + \sin x)^{\frac{1}{2} \cot x} = e^{\lim_{x ightarrow 0} \frac{1}{2} \cot x \cdot \sin x} = e^{\lim_{x ightarrow 0} \frac{1}{2} \cos x} = e^{1/2} = \sqrt{e}$. द्विघात समीकरण $ax^2 + bx - \sqrt{e} = 0$ है। मूलों का योग $\alpha + \beta = 1 + \sqrt{e} = -b/a$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = 1 \cdot \sqrt{e} = -\sqrt{e}/a$ है। गुणनफल से,$\sqrt{e} = -\sqrt{e}/a \implies a = -1$. योग से,$1 + \sqrt{e} = -b/(-1) = b$. अतः,$a = -1$ और $b = 1 + \sqrt{e}$. तब $a + b = -1 + 1 + \sqrt{e} = \sqrt{e}$. अंत में,$12 \log_e(a + b) = 12 \log_e(\sqrt{e}) = 12 	imes \frac{1}{2} = 6$.

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$\lim_{h \rightarrow 0} 2 \left\{ \frac{\sqrt{3} \sin (\frac{\pi}{6} + h) - \cos (\frac{\pi}{6} + h)}{\sqrt{3} h (\sqrt{3} \cos h - \sin h)} \right\}$ का मान है

$\lim\limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{3 x^{2}+2}{7 x^{2}+2}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x) = \frac{1}{3} x \sin x - (1 - \cos x)$ है। सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $k$ ज्ञात कीजिए जिसके लिए $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^k} \neq 0$ हो।

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