यदि I = sum_{k=1}^{98} int_k^{k+1} frac{k+1}{ | vedclass

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Question

(C) हमें $I = \sum_{k=1}^{98} \int_{k}^{k+1} \frac{k+1}{x(x+1)} dx$ दिया गया है।$x \in [k, k+1]$ के लिए,हमारे पास $k \le x \le k+1$ है।इसका अर्थ है कि

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$B, D$

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(C) हमें $I = \sum_{k=1}^{98} \int_{k}^{k+1} \frac{k+1}{x(x+1)} dx$ दिया गया है।$x \in [k, k+1]$ के लिए,हमारे पास $k \le x \le k+1$ है।इसका अर्थ है कि $\frac{1}{k+1} \le \frac{1}{x} \le \frac{1}{k}$।$(k+1)$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{k+1}{k+1} \le \frac{k+1}{x} \le \frac{k+1}{k}$ प्राप्त होता है।$(x+1)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{1}{x+1} \le \frac{k+1}{x(x+1)} \le \frac{k+1}{k(x+1)}$ प्राप्त होता है।$k$ से $k+1$ तक समाकलन करने पर:$\int_{k}^{k+1} \frac{1}{x+1} dx $k=1$ से $98$ तक योग करने पर:$\sum_{k=1}^{98} (\ln(k+2) - \ln(k+1)) बाईं ओर $\ln(100) - \ln(2) = \ln(50)$ है।चूंकि $\frac{k+1}{k} = 1 + \frac{1}{k}$,दाईं ओर $\sum_{k=1}^{98} (1 + \frac{1}{k}) \ln(\frac{k+2}{k+1})$ है।$\ln(1+x) साथ ही,$\frac{49}{50}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $I > \frac{49}{50}$ प्राप्त होता है।अतः,$I  \frac{49}{50}$ दोनों सत्य हैं।

यदि $I = \sum_{k=1}^{98} \int_k^{k+1} \frac{k+1}{x(x+1)} dx$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

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यदि $\int_{0}^{\pi} (\sin^{3} x) e^{-\sin^{2} x} dx = \alpha - \frac{\beta}{e} \int_{0}^{1} \sqrt{t} e^{t} dt$ है,तो $\alpha + \beta$ का मान $....$ है।

यदि $b_{n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^{2} nx}{\sin x} dx$,$n \in N$,तो

मान लीजिए $I_n = \int_0^1 e^{-y} y^n \, dy$,जहाँ $n$ एक अऋणात्मक पूर्णांक है। तो,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{I_n}{n!}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि ${I_n} = \int_{ - n}^n {{{\tan }^2}\{x\}dx} $ है,तो (जहाँ $\{.\}$ भिन्नात्मक भाग फलन को दर्शाता है और $n \in N$):

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