यदि I=int_0^{frac{pi}{2}} frac{sin ^{frac{3}{ | vedclass

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Question

(A) माना $I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x \sin x \cos x}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} dx$. गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi^2}{16}$

Vedclass · Answer

(A) माना $I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x \sin x \cos x}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} dx$. गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर: $I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\frac{\pi}{2}-x) \sin(\frac{\pi}{2}-x) \cos(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin ^4(\frac{\pi}{2}-x)+\cos ^4(\frac{\pi}{2}-x)} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\frac{\pi}{2}-x) \cos x \sin x}{\cos ^4 x+\sin ^4 x} dx$. $I_2$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर: $2I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\frac{\pi}{2} \sin x \cos x}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} dx = \frac{\pi}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x \cos x}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} dx$. अंश और हर को $\cos^4 x$ से विभाजित करने पर: $I_2 = \frac{\pi}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{	an x \sec^2 x}{	an^4 x + 1} dx$. माना $t = 	an^2 x$,तब $dt = 2 	an x \sec^2 x dx$,अतः $	an x \sec^2 x dx = \frac{dt}{2}$. जब $x 	o 0, t 	o 0$ और जब $x 	o \frac{\pi}{2}, t 	o \infty$. $I_2 = \frac{\pi}{4} \int_0^{\infty} \frac{dt/2}{t^2+1} = \frac{\pi}{8} [	an^{-1} t]_0^{\infty} = \frac{\pi}{8} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{16}$.

यदि $I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{\frac{3}{2}} x}{\sin ^{\frac{3}{2}} x+\cos ^{\frac{3}{2}} x} d x$ है,तो $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x \sin x \cos x}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए:

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$I_n = \int_{1}^{e} (\ln x)^n dx$,जहाँ $n \in N$ है,के लिए निम्नलिखित में से कौन सा संबंध सत्य है?

$\int_0^\pi x \sin^3 x \, dx = $

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