यदि f(x) = int frac{1}{x^{1/4}(1+x^{1/4})} dx | vedclass

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Question

(A) माना $x = t^4$,तब $dx = 4t^3 dt$.इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$\int \frac{1}{t(1+t)} \cdot 4t^3 dt = \int \frac{4t^2}{1+t} dt$.बहुप

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$4(\log_e 2 - 2)$

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(A) माना $x = t^4$,तब $dx = 4t^3 dt$.इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$\int \frac{1}{t(1+t)} \cdot 4t^3 dt = \int \frac{4t^2}{1+t} dt$.बहुपद विभाजन या समायोजन का उपयोग करने पर:$\int \frac{4(t^2-1+1)}{t+1} dt = 4 \int (t-1 + \frac{1}{t+1}) dt$.पद-दर-पद समाकलन करने पर:$f(x) = 4(\frac{t^2}{2} - t + \log_e|t+1|) + C = 2t^2 - 4t + 4\log_e(t+1) + C$.$t = x^{1/4}$ रखने पर:$f(x) = 2x^{1/2} - 4x^{1/4} + 4\log_e(1+x^{1/4}) + C$.दिया है $f(0) = -6$:$2(0) - 4(0) + 4\log_e(1) + C = -6 \implies C = -6$.अतः,$f(x) = 2x^{1/2} - 4x^{1/4} + 4\log_e(1+x^{1/4}) - 6$.$f(1)$ की गणना करने पर:$f(1) = 2(1) - 4(1) + 4\log_e(2) - 6 = 2 - 4 + 4\log_e 2 - 6 = 4\log_e 2 - 8 = 4(\log_e 2 - 2)$.

यदि $f(x) = \int \frac{1}{x^{1/4}(1+x^{1/4})} dx$ और $f(0) = -6$ है,तो $f(1)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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$\int \frac{dx}{(a^2 + x^2)^{3/2}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{(5 \sin \theta-2) \cos \theta}{(5-\cos ^2 \theta-4 \sin \theta)} d \theta=$

यदि $f_n(x) = \log \log \log \ldots \log x$ (जहाँ $\log$ $n$ बार दोहराया गया है), तो $\int (x f_1(x) f_2(x) \ldots f_n(x))^{-1} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int \frac{x+1}{\sqrt{2x-1}} \, dx = f(x) \sqrt{2x-1} + c$ है,(जहाँ $c$ समाकलन का एक स्थिरांक है),तो $f(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{2 \tan (x)}{1+2 \tan ^2(x)} d x=$

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