यदि z + z^{-1} = 1 है,तो z^{100} + z^{-100} क | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $z + z^{-1} = 1$,जिसका अर्थ है $z + \frac{1}{z} = 1$,जिससे $z^2 - z + 1 = 0$ प्राप्त होता है।द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$z = \frac

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$-1$

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(D) दिया गया है $z + z^{-1} = 1$,जिसका अर्थ है $z + \frac{1}{z} = 1$,जिससे $z^2 - z + 1 = 0$ प्राप्त होता है।द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$z = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} = -\omega$ या $-\omega^2$,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।स्थिति $1$: यदि $z = -\omega$ है,तो $z^{100} + z^{-100} = (-\omega)^{100} + (-\omega)^{-100} = \omega^{100} + \frac{1}{\omega^{100}}$.चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^{100} = \omega$ होगा।अतः,$z^{100} + z^{-100} = \omega + \frac{1}{\omega} = \omega + \omega^2 = -1$.स्थिति $2$: यदि $z = -\omega^2$ है,तो $z^{100} + z^{-100} = (-\omega^2)^{100} + (-\omega^2)^{-100} = \omega^{200} + \frac{1}{\omega^{200}} = \omega^2 + \omega = -1$.दोनों स्थितियों में,परिणाम $-1$ प्राप्त होता है।

सूची-$I$ (व्यंजक)	सूची-$II$ (मान)
$A$. $\omega^{1010} + \omega^{2000}$	$I$. $0$
$B$. $(1 + \omega - \omega^2)(1 - \omega + \omega^2)$	$II$. $1$
$C$. $(2 + \omega^2 + \omega^4)^5$	$III$. $-1$
$D$. $(3 + 5\omega + 3\omega^2)^3$	$IV$. $4$
	$V$. $8$

यदि $z + z^{-1} = 1$ है,तो $z^{100} + z^{-100}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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