જો $y(x) = \left| \begin{array}{ccc} \sin x & \cos x & \sin x + \cos x + 1 \\ 27 & 28 & 27 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right|$,$x \in R$,હોય,તો $\frac{d^2 y}{d x^2} + y$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 2 \cos^2 x & \sin 2x & \sin x \\ \sin 2x & 2 \sin^2 x & -\cos x \\ \sin x & -\cos x & 0 \end{array} \right|$ હોય, તો $\int_0^{\frac{\pi}{4}} (2|f(x)| + 5f'(x)) \, dx$ ની કિંમત શોધો.

નીચેનામાંથી કયું વિધાન અસત્ય છે?
$1$. જો $A$ એ $5 \times 5$ ક્રમનો વિસંમિત શ્રેણિક (skew-symmetric matrix) હોય,તો $A$ નો નિશ્ચાયક (rank) $5$ કરતા ઓછો હોય છે.
$2$. જો $P$ એ શૂન્યતર સ્તંભ શ્રેણિક અને $Q$ એ શૂન્યતર હાર શ્રેણિક હોય,તો $PQ$ નો નિશ્ચાયક $1$ હોય છે.
$3$. $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક $2$ છે.
$4$. જો રેખાઓ $a_r x + b_r y + c_r = 0$ $(r = 1, 2, 3)$ ભિન્ન હોય અને એક બિંદુએ છેદતી હોય,તો $\begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક $3$ છે.

જો $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 2 \cos x & 1 & 0 \\ x - \frac{\pi}{2} & 2 \cos x & 1 \\ 0 & 1 & 2 \cos x \end{array} \right|$ હોય, તો $f^{\prime}(\pi)$ ની કિંમત શોધો.

જો શ્રેણિક $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & k & k \end{bmatrix}$ નો શ્રેણી (rank) $2$ હોય અને $k$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા હોય,તો $k$ એ નીચેનામાંથી કયા દ્વિઘાત સમીકરણનું બીજ છે?

જો ${D_p} = \begin{vmatrix} p & 15 & 8 \\ p^2 & 35 & 9 \\ p^3 & 25 & 10 \end{vmatrix}$ હોય,તો ${D_1} + {D_2} + {D_3} + {D_4} + {D_5} = $