यदि operatorname{Lim}_{x rightarrow 0}left(fr | vedclass

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Question

(C) माना $P = \lim_{x ightarrow 0} \left(\frac{	an x}{x}ight)^{\frac{1}{x^2}}$.चूंकि यह $1^{\infty}$ रूप है,हम सूत्र $\lim_{x ightarrow a} f(x)

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$32$

Vedclass · Answer

(C) माना $P = \lim_{x ightarrow 0} \left(\frac{	an x}{x}ight)^{\frac{1}{x^2}}$.चूंकि यह $1^{\infty}$ रूप है,हम सूत्र $\lim_{x ightarrow a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x ightarrow a} (f(x)-1)g(x)}$ का उपयोग करते हैं।$P = e^{\lim_{x ightarrow 0} \left(\frac{	an x}{x} - 1ight) \frac{1}{x^2}} = e^{\lim_{x ightarrow 0} \frac{	an x - x}{x^3}}$.टेलर श्रेणी विस्तार $	an x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \dots$ का उपयोग करने पर:$P = e^{\lim_{x ightarrow 0} \frac{(x + \frac{x^3}{3} + \dots) - x}{x^3}} = e^{\lim_{x ightarrow 0} \frac{x^3/3}{x^3}} = e^{1/3}$.अतः,$\log_e p = \log_e (e^{1/3}) = \frac{1}{3}$.इसलिए,$96 \log_e p = 96 	imes \frac{1}{3} = 32$.

यदि $\operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\tan x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}=p$ है,तो $96 \log _e p$ का मान . . . . . . है।

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$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{\cot }^{ - 1}}\left( {\sqrt {x + 1} - \sqrt x } \right)}}{{{{\sec }^{ - 1}}\left\{ {{{\left( {\frac{{2x + 1}}{{x - 1}}} \right)}^x}} \right\}}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

फलन $f(x)$ की दाईं ओर और बाईं ओर की सीमा क्रमशः है:
$f(x)=\begin{cases} \frac{e^{1 / x}-1}{e^{1 / x}+1}, & \text{यदि } x \neq 0 \\ 0, & \text{यदि } x=0 \end{cases}$

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