यदि $p, q, r$ एक $G.P.$ में हैं और $\tan^{-1} p, \tan^{-1} q, \tan^{-1} r$ एक $A.P.$ में हैं,तो $p, q, r$ किस संबंध को संतुष्ट करते हैं?

मान लीजिए $\alpha = 3 \sin^{-1}(\frac{6}{11})$ और $\beta = 3 \cos^{-1}(\frac{4}{9})$, जहाँ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन केवल मुख्य मान लेते हैं। नीचे दो कथन दिए गए हैं:
कथन $I$: $\cos(\alpha + \beta) > 0$.
कथन $II$: $\cos(\alpha) < 0$.
उपरोक्त कथनों के आलोक में, नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:

यदि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $6x^2 - 5x + 1 = 0$ के मूल हैं,तो $\tan^{-1}\alpha + \tan^{-1}\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f : R \to R$,$f(x) = \max\{|\tan^{-1}x|, \cot^{-1}x\}$ है। निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$I.$ फलन सतत और अवकलनीय है $\forall x \in R$ के लिए।
$II.$ फलन का परिसर $\left[ \frac{\pi}{4}, \pi \right]$ है।
$III.$ $f(x)$ एक बहु-एक अंतर्क्षेपी (many-one into) फलन है।
सही विकल्प की पहचान करें।

$\sec ^2(\tan ^{-1} 2) + \operatorname{cosec}^2(\cot ^{-1} 3)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\sin \left[ \cos^{-1} \left( \frac{3}{5} \right) + \tan^{-1} 2 \right] = $