यदि $x$ वास्तविक है और $k = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}$ है,तो

$a$ के उन पूर्णांक मानों की संख्या क्या है जिनके लिए $x^2 - (a - 1)x + 3 = 0$ के दोनों मूल धनात्मक हैं और $x^2 + 3x + 6 - a = 0$ के दोनों मूल ऋणात्मक हैं?

मान लीजिए $p, q$ वास्तविक संख्याएँ हैं। यदि $\alpha$, $x^{2}+3 p^{2} x+5 q^{2}=0$ का एक मूल है, $\beta$, $x^{2}+9 p^{2} x+15 q^{2}=0$ का एक मूल है और $0 < \alpha < \beta$ है, तो समीकरण $x^{2}+6 p^{2} x+10 q^{2}=0$ का एक मूल $\gamma$ है जो हमेशा संतुष्ट करता है:

मान लीजिए $a, b \in \mathbb{R}$ इस प्रकार हैं कि समीकरण $ax^{2}-2bx+15=0$ का एक पुनरावृत्त मूल $\alpha$ है। यदि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^{2}-2bx+21=0$ के मूल हैं,तो $\alpha^{2}+\beta^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $x = \frac{1}{2} \left( \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$ है, तो $\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x - \sqrt{x^2 - 1}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि वह समीकरण जिसके मूल $x^4-2ax^3+4bx^2+8ax+16=0$ समीकरण के मूलों के $p$ गुना हैं,एक व्युत्क्रम समीकरण (reciprocal equation) है,तो $|p|=$ :