यदि f(x) = x e^{x(1-x)}, x in R है,तो f(x) है | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = x e^{x(1-x)}$.गुणन नियम का उपयोग करने पर,$f'(x) = x \cdot e^{x(1-x)} \cdot \frac{d}{dx}(x-x^2) + e^{x(1-x)} \cdot 1$.$f'(x) =

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$\left[-\frac{1}{2}, 1\right]$ में वर्धमान

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(A) दिया गया है $f(x) = x e^{x(1-x)}$.गुणन नियम का उपयोग करने पर,$f'(x) = x \cdot e^{x(1-x)} \cdot \frac{d}{dx}(x-x^2) + e^{x(1-x)} \cdot 1$.$f'(x) = x e^{x(1-x)}(1-2x) + e^{x(1-x)}$.$f'(x) = e^{x(1-x)} [x(1-2x) + 1] = e^{x(1-x)} (x - 2x^2 + 1)$.$f'(x) = e^{x(1-x)} (-2x^2 + x + 1) = -e^{x(1-x)} (2x^2 - x - 1)$.$f'(x) = -e^{x(1-x)} (2x+1)(x-1) = e^{x(1-x)} (2x+1)(1-x)$.$f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।चूंकि $e^{x(1-x)} > 0$ सभी $x \in R$ के लिए,हमें $(2x+1)(1-x) \geq 0$ की आवश्यकता है।यह असमिका $x \in \left[-\frac{1}{2}, 1\right]$ के लिए सत्य है।अतः,$f(x)$ अंतराल $\left[-\frac{1}{2}, 1\right]$ में वर्धमान है।

यदि $f(x) = x e^{x(1-x)}, x \in R$ है,तो $f(x)$ है

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