જો $x \frac{dy}{dx} = y(\log y - \log x + 1)$ હોય,તો સમીકરણનો ઉકેલ શું છે?

આપેલ શરતનું પાલન કરતો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો:
$\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} + \csc\left(\frac{y}{x}\right) = 0$; જ્યારે $x = 1$ ત્યારે $y = 0$.

વિકલ સમીકરણ $(x \,dy-y \,dx) y\, \sin \left(\frac{y}{x}\right)=(y \,dx+x\, dy) x\, \cos \left(\frac{y}{x}\right)$ ઉકેલો.

ધારો કે $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x \sin(\frac{y}{x}) dy = (y \sin(\frac{y}{x}) - x) dx$, $y(1) = \frac{\pi}{2}$ નો ઉકેલ છે અને ધારો કે $\alpha = \cos(\frac{e^{12}}{e^{12}})$ છે. તો $p$ ના એવા પૂર્ણાંક મૂલ્યોની સંખ્યા શોધો, જેના માટે સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2px + 2py + \alpha + 2 = 0$ એ $r \leq 6$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.

એક વક્ર બિંદુ $\left( 1, \frac{\pi}{4} \right)$ માંથી પસાર થાય છે અને કોઈપણ બિંદુએ તેનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \cos^2 \left( \frac{y}{x} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. વક્રનું સમીકરણ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\left(x \sin \frac{y}{x}\right) dy = \left(y \sin \frac{y}{x} - x\right) dx$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.