ધારો કે y = y(x) એ વિકલ સમીકરણ x sin(frac{y}{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \sin(\frac{y}{x}) dy = (y \sin(\frac{y}{x}) - x) dx$ છે.
$y = vx$ આદેશ લેતા, $dy = v dx + x dv$ મળે.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:

Vedclass · Accepted Answer

$9$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \sin(\frac{y}{x}) dy = (y \sin(\frac{y}{x}) - x) dx$ છે.
$y = vx$ આદેશ લેતા, $dy = v dx + x dv$ મળે.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $x \sin v (v dx + x dv) = (vx \sin v - x) dx$.
$vx \sin v dx + x^2 \sin v dv = vx \sin v dx - x dx$.
$x^2 \sin v dv = -x dx \Rightarrow \sin v dv = -\frac{1}{x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $-\cos v = -\ln|x| + C$.
$y(1) = \frac{\pi}{2}$ આપેલ હોવાથી, $v(1) = \frac{\pi}{2}$ થાય.
$-\cos(\frac{\pi}{2}) = -\ln(1) + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
આમ, $\cos(\frac{y}{x}) = \ln x$.
આપેલ છે કે $\alpha = \cos(\frac{e^{12}}{e^{12}}) = \cos(1)$.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2px + 2py + \alpha + 2 = 0$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{p^2 + (-p)^2 - (\alpha + 2)} = \sqrt{2p^2 - \alpha - 2}$.
શરત $r \leq 6$ માટે, $2p^2 - \alpha - 2 \leq 36$.
$2p^2 \leq 38 + \alpha$.
$\alpha = \cos(1) \approx 0.54$ હોવાથી, $2p^2 \leq 38.54 \Rightarrow p^2 \leq 19.27$.
$p$ ના શક્ય પૂર્ણાંક મૂલ્યો $p \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ છે.
આમ, કુલ $9$ મૂલ્યો મળે છે.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $(x^2 + y^2) dy = xy dx$ માટે, આપેલ છે કે $y(1) = 1$ અને $y(x_0) = e$, તો $x_0$ ની કિંમત શોધો.

સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \left( \log \frac{y}{x} + 1 \right)$ નો ઉકેલ શોધો.

આપેલ શરતનું પાલન કરતો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો:
$x^{2} dy + (xy + y^{2}) dx = 0$; $y = 1$ જ્યારે $x = 1$.

વિકલ સમીકરણ $x dy - y dx = \sqrt{x^2+y^2} dx$ નો ઉકેલ શોધો, જ્યાં $x=\sqrt{3}$ હોય ત્યારે $y=1$ છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module