આપેલ શરતનું પાલન કરતો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો:
$x^{2} dy + (xy + y^{2}) dx = 0$; $y = 1$ જ્યારે $x = 1$.

Question

(A) $x^{2} dy + (xy + y^{2}) dx = 0$$\Rightarrow x^{2} dy = -(xy + y^{2}) dx$$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{-(xy + y^{2})}{x^{2}}$ ............. $

Vedclass · Accepted Answer

$y + 2x = 3x^{2}y$

Vedclass · Answer

(A) $x^{2} dy + (xy + y^{2}) dx = 0$$\Rightarrow x^{2} dy = -(xy + y^{2}) dx$$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{-(xy + y^{2})}{x^{2}}$ ............. $(1)$ધારો કે $F(x, y) = \frac{-(xy + y^{2})}{x^{2}}$.$	herefore F(\lambda x, \lambda y) = \frac{-(\lambda x \cdot \lambda y + (\lambda y)^{2})}{(\lambda x)^{2}} = \frac{-\lambda^{2}(xy + y^{2})}{\lambda^{2}x^{2}} = \lambda^{0} F(x, y)$.તેથી,આપેલ વિકલ સમીકરણ એક સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. તેને ઉકેલવા માટે,આપણે $y = vx$ આદેશ લઈએ છીએ.$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.સમીકરણ $(1)$ માં $y$ અને $\frac{dy}{dx}$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{-(x \cdot vx + (vx)^{2})}{x^{2}} = -(v + v^{2}) = -v - v^{2}$.$\Rightarrow x \frac{dv}{dx} = -v^{2} - 2v = -v(v + 2)$.$\Rightarrow \frac{dv}{v(v + 2)} = -\frac{dx}{x}$.આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v(v + 2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{v} - \frac{1}{v + 2} ight)$.$\Rightarrow \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{v} - \frac{1}{v + 2} ight) dv = -\int \frac{dx}{x}$.$\Rightarrow \frac{1}{2} [\ln|v| - \ln|v + 2|] = -\ln|x| + C_1$.$\Rightarrow \ln \left( \frac{v}{v + 2} ight) = -2\ln|x| + 2C_1 = \ln \left( \frac{C}{x^{2}} ight)$.$\Rightarrow \frac{v}{v + 2} = \frac{C}{x^{2}}$.$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા:$\Rightarrow \frac{y/x}{y/x + 2} = \frac{C}{x^{2}} \Rightarrow \frac{y}{y + 2x} = \frac{C}{x^{2}} \Rightarrow \frac{x^{2}y}{y + 2x} = C$.$x = 1$ હોય ત્યારે $y = 1$ આપેલ છે:$\frac{1^{2} \cdot 1}{1 + 2(1)} = C \Rightarrow C = \frac{1}{3}$.$\Rightarrow \frac{x^{2}y}{y + 2x} = \frac{1}{3} \Rightarrow 3x^{2}y = y + 2x$.

આપેલ શરતનું પાલન કરતો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો:
$x^{2} dy + (xy + y^{2}) dx = 0$; $y = 1$ જ્યારે $x = 1$.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ ${y^2}\,dx + ({x^2} - xy + {y^2})\,dy = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(x \sin \frac{y}{x}) dy = (y \sin \frac{y}{x} - x) dx$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\left(x \sin \frac{y}{x}\right) dy = \left(y \sin \frac{y}{x} - x\right) dx$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વક્ર $y = y(x)$ પરના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{x^2+y^2}{2xy}$ છે,જ્યાં $x > 0$. જો $y(2) = 0$ હોય,તો $y(8)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module

આપેલ શરતનું પાલન કરતો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો:$x^{2} dy + (xy + y^{2}) dx = 0$; $y = 1$ જ્યારે $x = 1$.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ ${y^2}\,dx + ({x^2} - xy + {y^2})\,dy = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(x \sin \frac{y}{x}) dy = (y \sin \frac{y}{x} - x) dx$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\left(x \sin \frac{y}{x}\right) dy = \left(y \sin \frac{y}{x} - x\right) dx$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વક્ર $y = y(x)$ પરના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{x^2+y^2}{2xy}$ છે,જ્યાં $x > 0$. જો $y(2) = 0$ હોય,તો $y(8)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module

આપેલ શરતનું પાલન કરતો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો:
$x^{2} dy + (xy + y^{2}) dx = 0$; $y = 1$ જ્યારે $x = 1$.