વક્ર y = y(x) પરના કોઈપણ બિંદુ (x, y) પર સ્પર | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{2xy}$ છે.અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{1+(y/x)^2}{2(y/x)}$ મળે.ધારો કે $y = tx$

Vedclass · Accepted Answer

$4 \sqrt{3}$

Vedclass · Answer

(B) વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{2xy}$ છે.અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{1+(y/x)^2}{2(y/x)}$ મળે.ધારો કે $y = tx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = t + x\frac{dt}{dx}$.સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $t + x\frac{dt}{dx} = \frac{1+t^2}{2t}$.$x\frac{dt}{dx} = \frac{1+t^2}{2t} - t = \frac{1-t^2}{2t}$.ચલનું અલગીકરણ કરતા: $\int \frac{2t}{1-t^2} dt = \int \frac{dx}{x}$.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $-\ln|1-t^2| = \ln|x| + C$,જેનો અર્થ છે $\ln|1-t^2|^{-1} = \ln|cx|$.તેથી,$\frac{1}{1-t^2} = cx$,અથવા $1-t^2 = \frac{1}{cx}$.$t = y/x$ મૂકતા: $1 - \frac{y^2}{x^2} = \frac{1}{cx} \Rightarrow \frac{x^2-y^2}{x^2} = \frac{1}{cx} \Rightarrow x^2-y^2 = \frac{x}{c}$.આપેલ છે કે $y(2) = 0$,તેથી $2^2 - 0^2 = \frac{2}{c} \Rightarrow 4 = \frac{2}{c} \Rightarrow c = \frac{1}{2}$.સમીકરણ $x^2 - y^2 = 2x$ બને છે.$x = 8$ માટે: $8^2 - y^2 = 2(8) \Rightarrow 64 - y^2 = 16 \Rightarrow y^2 = 48$.આમ,$y = \pm \sqrt{48} = \pm 4\sqrt{3}$.

વક્ર $y = y(x)$ પરના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{x^2+y^2}{2xy}$ છે,જ્યાં $x > 0$. જો $y(2) = 0$ હોય,તો $y(8)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

દર્શાવો કે વિકલ સમીકરણ $x dy - y dx = \sqrt{x^{2} + y^{2}} dx$ એ સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે અને તેનો ઉકેલ મેળવો.

નીચેનામાંથી કયું સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે?

$y^2 dx + (x^2 - xy + y^2) dy = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module