ધારો કે y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ x tan left(frac{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x 	an \left(\frac{y}{x}ight) d y = \left(y 	an \left(\frac{y}{x}ight)-xight) d x$ છે.પદોને ગોઠવતા,આપણને $	an \left(\fra

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{8}(\pi-1)$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x 	an \left(\frac{y}{x}ight) d y = \left(y 	an \left(\frac{y}{x}ight)-xight) d x$ છે.પદોને ગોઠવતા,આપણને $	an \left(\frac{y}{x}ight)(x d y - y d x) = -x d x$ મળે છે.બંને બાજુ $x^2$ વડે ભાગતા,$	an \left(\frac{y}{x}ight) d\left(\frac{y}{x}ight) = -\frac{1}{x} d x$ મળે છે.બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\ln \left| \sec \left(\frac{y}{x}ight) ight| = -\ln |x| + C$ મળે,જે $\ln \left| x \sec \left(\frac{y}{x}ight) ight| = C$ તરીકે લખી શકાય.$y(1/2) = \pi/6$ આપેલ હોવાથી,$\ln \left| \frac{1}{2} \sec \left( \frac{\pi/6}{1/2} ight) ight| = \ln \left| \frac{1}{2} \sec \left( \frac{\pi}{3} ight) ight| = \ln \left| \frac{1}{2} \cdot 2 ight| = \ln(1) = 0$. તેથી,$C=0$.આમ,$\sec \left(\frac{y}{x}ight) = \frac{1}{x}$,જેનો અર્થ છે કે $\cos \left(\frac{y}{x}ight) = x$,અથવા $y = x \cos^{-1}(x)$.જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A = \int_{0}^{1/\sqrt{2}} x \cos^{-1}(x) d x$ છે.ખંડશઃ સંકલન (Integration by parts) નો ઉપયોગ કરતા,$A = \left[ \frac{x^2}{2} \cos^{-1}(x) ight]_{0}^{1/\sqrt{2}} - \int_{0}^{1/\sqrt{2}} \frac{x^2}{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} ight) d x$.$A = \left( \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi}{4} - 0 ight) + \frac{1}{2} \int_{0}^{1/\sqrt{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} d x$.$x = \sin 	heta$ લેતા,$d x = \cos 	heta d 	heta$,તેથી $\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/4} \frac{\sin^2 	heta \cos 	heta}{\cos 	heta} d 	heta = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/4} \frac{1-\cos 2	heta}{2} d 	heta = \frac{1}{4} \left[ 	heta - \frac{\sin 2	heta}{2} ight]_{0}^{\pi/4} = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} ight) = \frac{\pi}{16} - \frac{1}{8}$.કુલ ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi}{16} - \frac{1}{8} = \frac{2\pi}{16} - \frac{1}{8} = \frac{\pi-1}{8}$.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x-y}$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

જો $y=y(x)$ એ $x \frac{d y}{d x}=y+x e^{-\left(\frac{y}{x}\right)}$ નું ઉકેલ હોય અને $y(1)=\log e$ હોય,તો $y(e)$ શોધો.

દર્શાવો કે વિકલ સમીકરણ $x dy - y dx = \sqrt{x^{2} + y^{2}} dx$ એ સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે અને તેનો ઉકેલ મેળવો.

વિકલ સમીકરણ $y e^{\frac{x}{y}} dx = \left( x e^{\frac{x}{y}} + y^2 \right) dy$ ઉકેલો,જ્યાં $y \neq 0$.

સાબિત કરો કે $x^{2}-y^{2}=c(x^{2}+y^{2})^{2}$ એ વિકલ સમીકરણ $(x^{3}-3xy^{2})dx=(y^{3}-3x^{2}y)dy$ નો વ્યાપક ઉકેલ છે,જ્યાં $c$ એક પ્રાચલ છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module