જો $\sin x$ એ સુરેખ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (integrating factor) હોય,તો $P$ શું થાય?

ધારો કે $F:[3,5] \rightarrow R$ એ $(3,5)$ પર બે વાર વિકલનીય વિધેય છે,જેથી $F(x)=e^{-x} \int_{3}^{x} (3t^{2}+2t+4F^{\prime}(t)) \,dt$. જો $F^{\prime}(4)=\frac{\alpha e^{\beta}-224}{(e^{\beta}-4)^{2}}$ હોય,તો $\alpha+\beta$ ની કિંમત $....$ થાય.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\operatorname{cosec}^{2} x \, dy + 2 \, dx = (1+y \cos 2x) \operatorname{cosec}^{2} x \, dx$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(\frac{\pi}{4})=0$ છે. તો,$(y(0)+1)^{2}$ ની કિંમત કેટલી થાય?

વિકલ સમીકરણ $(1-x^{2}) \frac{dy}{dx} + 2xy = x(1-x^{2})^{\frac{1}{2}}$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(\tan x)^{1/2} dy = (\sec^3 x - (\tan x)^{3/2} y) dx$ નો ઉકેલ છે, જ્યાં $0 < x < \frac{\pi}{2}$ અને $y(\frac{\pi}{4}) = \frac{6\sqrt{2}}{5}$ છે. જો $y(\frac{\pi}{3}) = \frac{4}{5}\alpha$ હોય, તો $\alpha^4$ ની કિંમત . . . . . . . થાય.

વિકલ સમીકરણ $x \log x \, dy = (x \log x - y) \, dx$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.