यदि y = [(x+1)(2x+1)(3x+1) ldots (nx+1)]^2 है | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $y = [(x+1)(2x+1)(3x+1) \ldots (nx+1)]^2$। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (log) लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $\ln y = 2[\ln(x+1) +

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$n(n+1)$

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(B) दिया गया है $y = [(x+1)(2x+1)(3x+1) \ldots (nx+1)]^2$। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (log) लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $\ln y = 2[\ln(x+1) + \ln(2x+1) + \ln(3x+1) + \ldots + \ln(nx+1)]$। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = 2 \left[ \frac{1}{x+1} + \frac{2}{2x+1} + \frac{3}{3x+1} + \ldots + \frac{n}{nx+1} ight]$। अतः,$\frac{dy}{dx} = 2y \left[ \frac{1}{x+1} + \frac{2}{2x+1} + \frac{3}{3x+1} + \ldots + \frac{n}{nx+1} ight]$। $x=0$ पर,$y = [(0+1)(0+1)(0+1) \ldots (0+1)]^2 = 1^2 = 1$। $x=0$ और $y=1$ का मान $\frac{dy}{dx}$ के व्यंजक में रखने पर: $\left( \frac{dy}{dx} ight)_{x=0} = 2(1) \left[ \frac{1}{0+1} + \frac{2}{0+1} + \frac{3}{0+1} + \ldots + \frac{n}{0+1} ight]$। $= 2(1 + 2 + 3 + \ldots + n)$। योग सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर: $= 2 	imes \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$।

यदि $y = [(x+1)(2x+1)(3x+1) \ldots (nx+1)]^2$ है,तो $x=0$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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